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一、全排列及其逆序数 二、对换 三、小结 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个 没有重复数字的三位数？ 解 1 2 3 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 1 个位 2种放法 1种放法 种放法. 共有 1 2 3 2 3 定义 把n 个不同的元素排成一列， 叫做这n 个元素的全排列（或排列）. n个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种排法？ 即n个不同的元素一共有n!种不同的排法. （这里暂时可把元素想象成是写有编号的小球） 所有6种不同的排法中，只有一种排法（123）中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前. 因此大部分的排列都不是“顺序”，而是乱序的，或者说其中有“逆序”. 3个不同的元素一共有3! = 6种不同的排法 123，132，213，231，312，321 对n个不同元素，先规定各元素之间有一个标准次序 例如：n个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义：在一个排列中，当某两个元素的先后次序与 标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 思考题：还能找到其它逆序吗？ 答：2和1，3和1也构成逆序. 定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 排列 的逆序数通常记为 . 规定：奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：是偶排列，标准次序排列的逆序数等于零。 （例如：12345） 例： 求排列 32514 的逆序数. 解： 练习： 求排列 453162 的逆序数. 求排列 463152 的逆序数. 练习： （奇排列） （偶排列） 猜想：对换一次改变排列的奇偶性？ 相邻对换改变排列的奇偶性! 定义 在排列中，将任意两个元素对调， 其余的元素不动，作出新排列叫做对换． 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换． 1、相邻对换是对换的特殊情形.改变排列的奇偶性！ 2、如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了. 3、一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现. 相邻对换改变排列的奇偶性. 2m+1次相邻对换 一个排列中的任意两个元素对换，改变排列的奇偶性. 推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列变成标准排列的对换次数为偶数. 证明： 对换的次数就是排列奇偶性的变化次数， 而标准排列是偶排列(逆序数为零)，可知推论成立. m 次相邻对换 m+1次相邻对换 计算排列 217986354 的逆序数， 并讨论其奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 计算排列的逆序数，并讨论其奇偶性. 2 排列具有奇偶性. 3 计算排列逆序数的方法. 1 个不同的元素的所有排列种数为
